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By Susanne Danz

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Pr , q1 , . . , qs ∈ R irreduzible Elemente mit p1 · · · pr = q1 · · · qs , so ist r = s, und bei geeigneter Nummerierung ist pi ∼ qi (i = 1, . . , r). (iii) Jedes Element 0 = a ∈ R R× l¨asst sich als Produkt irreduzibler Elemente schreiben, und jedes irreduzible Element in R ist ein Primelement in R. Beweis. 14. (ii)⇒(iii): Mit (ii) ist auch die erste H¨alfte von (iii) erf¨ullt. Es seien p ∈ R irreduzibel und a, b ∈ R mit p | ab: Dann existiert ein c ∈ R mit ab = pc. Ist a = 0 oder b = 0, so ist p | a oder p | b.

11 Definition Ein Element 0 = p ∈ R R× heißt (a) irreduzibel (oder irreduzibles Element), falls f¨ur alle a, b ∈ R gilt: p = ab ⇒ a ∈ R× oder b ∈ R× ; (b) prim (oder Primelement), falls f¨ur alle a, b ∈ R gilt: p | ab ⇒ p | a oder p | b. 12 Lemma F¨ur alle p, q ∈ R gilt: (a) Ist p ∼ q und ist p irreduzibel (bzw. prim), so ist auch q irreduzibel (bzw. prim). (b) Ist p prim, so ist p auch irreduzibel. (c) Ist R ein HIR und ist p irreduzibel, so ist p auch prim. 40 Beweis. (a) Nachrechnen! (b): Es sei p ∈ R prim, und es seien a, b ∈ R mit p = ab.

Zn ∈ C mit f = a(X − z1 )(X − z2 ) · · · (X − zn ) . Die Zahlen z1 , . . , zn sind genau die Nullstellen von f . B. hat X 2 + 1 ∈ R[X] keine Nullstelle in R. 8 Satz (Polynomdivision) Es sei R ein IB, und es seien f, g ∈ R[X] so, dass der Leitkoeffizient von g in R× liegt. Dann existieren eindeutig bestimmte q, r ∈ R[X] mit f = qg + r und deg(r) < deg(g). n i i Beweis. Es seien f = m i=0 ai X und g = i=0 bi X mit n = deg(g). Nach Voraussetzung ist × bn ∈ R . Ist f = 0, so k¨onnen wir q = 0 = r w¨ahlen und erhalten f = qg + r und deg(r) = −∞ < n = deg(g).

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